VLNY - PŘÍKLADY

Na této stránce naleznete:
	Nadsvětelné rychlosti − prasátko
	Nadsvětelné rychlosti − quasary
	Kruhová vlna na membráně
	Detonační vlna
	Hluk
	Ladička
	Rotující hvězda
	Disperzní relace (ke zkoušce !!)
	Směrový diagram

 

Př. 1.: Nadsvětelné rychlosti − "prasátko"

• Zadání: Světelným zdrojem můžeme otočit o 90° za 0.1 s. Jak daleko musí být projekční plocha, aby se světelná skvrna (prasátko) pohybovala nadsvětelnou rychlostí?

• Řešení: Úhlová rychlost prasátka je ω = ωφ/Δt. Obvodová rychlost na projekční stěně ve vzdálenosti l bude v = lω. Tato rychlost má být větší než rychlost světla c. Odsud plyne podmínka l > cΔt/ωφ.
• Výsledek: l > 20 000 km. To je podstatně méně než je oběžná dráha Měsíce (384 000 km!) a srovnatelné s oběžnými výškami některých sond.

Př. 2.: Nadsvětelné rychlosti − quasary

• Zadání: Vzdálený objekt se pohybuje směrem k pozorovateli pod malým úhlem téměř rychlostí světla. Určete, jakou rychlost naměří pozorovatel.

• Řešení: Poloha objektu je dána vztahy:

x(t) = vt sin α ,
y(t) = y₀ − vt cos α .

Signál k pozorovateli přichází se zpožděním v čase

τ = t + y(t)/c .

Rychlost, kterou bude pozorovat pozorovatel proto bude



Je zřejmé, že pro malé úhly tato fiktivní pozorovaná rychlost snadno převýší rychlost šíření světla.

Př. 3.: Kruhová vlna na membráně

• Zadání: Tenkou pružnou homogenní membránu ve tvaru kruhu o poloměru 1,5 m ve středu prudkým úderem paličkou vychýlíme o 1 cm. Hlavice paličky má tvar válce o průměru 1,5 cm. Osa hlavice paličky při úderu byla kolmá na rovinu membrány. Rychlost úderu a tuhost membrány byly takové, že se při úderu protáhla membrána pouze v bezprostředním okolí hlavice paličky. Jaká bude amplituda vlny vzniklé na okraji membrány? Útlum a energii předanou zpět paličce zanedbejte.
• Řešení: U kruhové vlny pro amplitudu platí

.

Proto

• Výsledek: Amplituda vlny na okraji membrány bude 1 mm.

  (Autor: Vítězslav Kříha, v. h.)

Př. 4.: Detonační vlna

• Zadání: Při explozi nálože byla uvolněna energie 10⁵ J. Exploze trvala 1 s. Jaká bude maximální intenzita detonační vlny ve vzdálenosti 10 metrů od exploze a ve vzdálenosti 20 metrů od exploze?
• Předpoklady: Detonační vlna je kulově symetrická.
• Řešení: I = ΔE/(ΔS Δt) = ΔE/(4πr² Δt)
• Výsledek: I₁ = 80 Wm⁻², I₂ = 20 Wm⁻².

Př. 5.: Hluk

• Zadání: Jak se sníží hladina hluku, vzdálím-li se od zdroje hluku do dvojnásobné vzdálenosti?
• Předpoklady: Zdroj hluku je malý vzhledem ke vzdálenostem, ve kterých posloucháme a hluk se šíří sféricky symetricky.
• Řešení: Intenzita je úměrná kvadrátu amplitudy a pro kulovou vlnu je I ~ 1/r². Proto ve dvojnásobné vzdálenosti bude I₂ = I₁/4. Hladina hluku se sníží o ΔL = 10 log(I₁/I₀) − 10 log(I₂/I₀) = 10 log(I₁/I₂) = 10 log(4).
• Výsledek: ΔL = 6 dB.

Př. 6.: Ladička

• Zadání: Zdroj zvuku se pohybuje na vozíku rychlostí v = 25 cm s⁻¹ směrem ke stěně. Na opačné straně slyší pozorovatel rázy na frekvenci f_r = 3 Hz. Jaká byla frekvence zdroje zvuku, jestliže je rychlost zvuku c_s = 340 m/s?

• Řešení: Pozorovatel slyší jednak přímou vlnu nižší frekvence (zdroj se vzdaluje) a jednak vlnu odraženou od stěny (vyšší frekvence − zdroj se pohybuje ke stěně). Obě vlny se skládají v rázy na rozdílové frekvenci:

f₁ = f₀ (1 − v/c_s),  f₂ = f₀ (1 + v/c_s),  f_r = f₂ − f₁ = 2 f₀v/c_s.

Korekce frekvence na pohyb zdroje jsme napsali do čitatele (v<<c_s). Vidíme, že f₀ = f_rc_s / (2v).
• Výsledek: f₀ = 2040 Hz.

Př. 7.: Rotující hvězda

• Zadání: Nalezněte vztah pro rozštěpení spektrální čáry způsobené rotací hvězdy. Vztah přepište pro vlnovou délku čar.
• Řešení: Rotace hvězdy způsobuje, že jeden okraj hvězdy se k nám přibližuje rychlostí v = R ω a druhý okraj se toutéž rychlostí vzdaluje. R je poloměr hvězdy a ω úhlová rychlost rotace hvězdy. Všechny spektrální čáry se tak budou štěpit na dvojice s frekvencemi f_1,2 = f₀ (1 ± Rω/c) a vlnovými délkami λ_1,2 = c/[f₀ (1 ± Rω/c)] ~ (c ± Rω)/f₀. Opět jsme využili toho, že korekce jsou malé a lze je se změnou znaménka převézt z jmenovatele do čitatele (1/[1 + x] ~ [1 − x]). Rozdíl vlnových délek obou čar tedy bude Δλ = 2Rω/f₀.

Př. 8.: Disperzní relace (ke zkoušce !!)

• Zadání: Standardní disperzní relace rovinné elektromagnetické vlny ω² = c² k² je při průchodu světla plazmatem modifikována na tvar ω² = ω_p² + c² k². Rychlost šíření světla ve vakuu je označena c. Veličina ω_p se nazývá plazmová frekvence (jde o frekvenci oscilací elektronů kolem iontů). Nalezněte závislost ω(k) a diskutujte její průběh. Určete fázovou a grupovou rychlost šíření této vlny.
• Poznámka: Připomeňme si, že platí vztahy 

• Průběh disperzní relace:

Z grafu je zřejmé, že vlna se šíří jen pro frekvence ω > ω_p. Při nižších frekvencích elektromagnetické vlny se elektrony prostředí totiž „stihnou“ rozkmitat a vlna je absorbována, plazma je pro takovou vlnu neprůhledné.

• Fázová rychlost:

Fázová rychlost závisí na vlnové délce vlny (disperze!) a je větší než rychlost světla.
• Grupová rychlost:

Grupová rychlost je menší než rychlost šíření světla (jde o rychlost šíření informace).

Př. 9.: Směrový diagram

• Zadání: Nalezněte tvar vlnoploch pro vlnu s disperzní relací  ω² = ω_p² + c² k² cos² α.
• Řešení: Směrový diagram je závislost velikosti fázové rychlosti na úhlu α v polárním diagramu. Zřejmě je: