ELEKTROMAGNETICKÉ VLNY - PŘÍKLADY

Na této stránce naleznete:
	Gradient
	Divergence
	Rotace
	Vlny ve vakuu (ke zkoušce !!)
	Vlny v anizotropním prostředí
	Vlny ve vodiči
	Vlny ve vlnovodu
	Sluneční světlo
	Potenciály

 

Př. 1.: Gradient

• Zadání: Představte si, že nadmořská výška kopce je dána formulí: h(x, y) = 5 exp[−x² − 9 y²]. Nalezněte kolmé vektory k vrstevnicím v bodech o souřadnicích A = [3,0]; B = [−3,1].
• Řešení: Rovnice vrstevnic jsou h(x, y) = const. Tento vztah je snadné upravit na rovnici elipsy (x/3)² + y² = const. Kolmice k vrstevnicím v libovolném bodě jsou n = grad h = (∂h/∂x, ∂h/∂y) = 5 exp[−x² − 9 y²] (−2x, −18y) ~ (−x, −9y). Nepodstatné konstanty mění jen délku vektoru a nic nemění na tom, že vektor je kolmý k vrstevnici, proto jsme tyto konstanty vynechali.
• Výsledek: n_A ~ (−3, 0) ~ (−1, 0); n_B ~ (+3, −9) ~ (+1, −3).

Př. 2.: Divergence

• Zadání: Nalezněte divergenci elektrického pole bodového náboje v celém prostoru.
• Předpoklady: Náboj je bodový (r → 0,  ρ → ∞).

Řešení: Elektrické pole v okolí bodového náboje je dáno Coulombovým zákonem: E = Q/(4πε₀r²) n, kde r je vzdálenost daného místa od náboje, n je jednotkový vektor n = (x/r, y/r, z/r) mířící od náboje. Elektrické pole má tedy složky (k = Q/(4πε₀)):

Pro výpočet divergence budeme potřebovat derivaci vzdálenosti podle jednotlivých proměnných:

∂r/∂x = ∂(x² + y² + z²)^1/2/∂x  = x/r,
∂r/∂y = ∂(x² + y² + z²)^1/2/∂y  = y/r,
∂r/∂z = ∂(x² + y² + z²)^1/2/∂z  = z/r.

Nyní již snadno určíme divergenci elektrického pole (derivujte jako podíly):

div E = ∂E_x/∂x + ∂E_y/∂y + ∂E_z/∂z = 0 pro r ≠ 0!

• Výsledek: Divergence elektrického pole je v celém prostoru nulová kromě množiny r = 0, ve které je zdroj pole − singulární hustota náboje.

Př. 3.: Rotace

• Zadání: Nalezněte rotaci z magnetického pole v okolí vodiče protékaného proudem.

Nezapomeňte, že viry jsou v počítači a v nás, výři létají po lesích a naše výpočty se týkají vírů.
• Předpoklady: Vodič je nekonečně dlouhý a limitně tenký (r → 0,  j → ∞).
• Řešení: Magnetické pole v okolí nekonečného tenkého vodiče je ve válcových souřadnicích dáno Ampérovým zákonem: B = μ₀I /(2πr) τ, kde r je vzdálenost daného místa od vodiče, osa z míří ve směru vodiče, τ je tečný jednotkový vektor τ = (−y/r, x/r, 0). Ověřte, že velikost tohoto vektoru je rovna jedné a že je kolmý k normálovému vektoru n = (x/r, y/r, 0). Magnetické pole má tedy složky (k = μ₀I /(2π)):

Pro výpočet rotace budeme potřebovat derivaci vzdálenosti podle jednotlivých proměnných:

∂r/∂x = ∂(x² + y²)^1/2/∂x  = x/r, 
∂r/∂y = ∂(x² + y²)^1/2/∂y  = y/r,

Nyní již snadno určíme jednotlivé komponenty rotace magnetického pole (derivujte jako podíly):

rot B = (∂B_z/∂y − ∂B_y/∂z, ∂B_x/∂z − ∂B_z/∂x, ∂B_y/∂x − ∂B_x/∂y) = (0, 0, 0) pro r ≠ 0!

• Výsledek: Rotace magnetického pole je v celém prostoru nulová kromě množiny r = 0, ve které je centrum vírů a současně zdroj magnetického pole − singulární proudová hustota.

Př. 4.: Vlny ve vakuu (ke zkoušce !!)

• Zadání: Řešte pomocí Fourierovy transformace Maxwellových rovnic konfiguraci polí v elektromagnetické vlně ve vakuu. Nalezněte vztah pro rychlost šíření této vlny a vztah mezi elektrickou a magnetickou složkou pole.

Tomuto příkladu věnujte maximální pozornost, zkuste si podobně vyřešit jiné prostředí než vakuum (vodič, anizotropní prostředí, atd.). Něco snad stihnu na přednášce.

• Řešení:
  

Maxwellovy rovnice:	MR ve vakuu (j = 0, ρ = 0, D = ε0E, B = μ0H):
div D = ρ,  div B = 0,  rot E = − ∂B/∂t,  rot H = j + ∂D/∂t	div E = 0,  div B = 0,  rot E = − ∂B/∂t,  rot B = ε0μ0∂E/∂t.


Je třeba provést Fourierovu transformaci, tj. obecnou vlnu složit z lineárních vln typu exp[i(kx − ωt)]. Vzhledem k linearitě Maxwellových rovnic postačí dosadit do MR jednu obecnou lineární vlnu. V praxi to znamená jednoduché nahrazení:


∂/∂t → − i ω;

→ i k;

div → i k ×

rot → i k×;

 
po kterém z Maxwellových rovnic máme

k ×E = 0 E k k × B = 0 B k k × E = ωB B k, E k × B = − ε0μ0ωE E  k, B

Odtud vyplývá, že vektory k, E, B tvoří ortogonální systém. Vektory E a B kmitají napříč směru šíření k, elektromagnetické vlnění je příčné. Poslední dvě relace nesou další informace. Vzhledem ke kolmosti vektorů můžeme ve velikostech psát: kE = ωB, kB = ε₀μ₀ωE. Vynásobením a vydělením obou rovnic získáme vztahy:

.

První vztah udává jednak rychlost šíření světla ve vakuu, jednak je nejjednodušší možnou disperzní relací ω² = k²/ε₀μ₀. Druhý vztah udává poměr elektrické intenzity a magnetické indukce v elektromagnetické vlně E/B = c. V kombinaci se vztahem pro intenzitu I = EH ho lze použít k výpočtu E, B − například v záření od Slunce (prohlédněte si příklad "Sluneční světlo").

Př. 5.: Vlny v anizotropním prostředí

• Zadání: Řešte pomocí Fourierovy transformace Maxwellových rovnic konfiguraci polí v elektromagnetické vlně v elektricky anisotropním prostředí. V jakém směru míří fázová rychlost a v jakém směru míří grupová rychlost?
• Předpoklady: V anisotropním prostředí nemusí vektory E a D mířit ve stejném směru. Připomeňme si, že D = ε₀E + P. Vektor polarizace P je hustota dipólových momentů, které vyvolá pole E. Ty ale mohou sledovat například krystalografické roviny a ne pole E. Výsledkem je, že pole E a D mají různý směr. Stejně tak může u magneticky aktivních materiálů docházet k magnetizaci prostředí a vektor H = B/μ₀ − M nemusí mířit ve stejném směru jako B. Budeme předpokádat anisotropii elektrických vlastností, tj. elektrické vektory D a E nejsou rovnoběžné.
• Řešení: Opět položíme v Maxwellových rovnicích j = 0, ρ = 0. Vzhledem k anizotropii musíme v rovnicích ponechat oba elektrické vektory. Provedeme FT Maxwellových rovnic stejně jako v minulém příkladě. Po FT máme:

div D = 0,			k ×D = 0			D k
div B = 0,			k ×B = 0			B k
rot H = ∂D/∂t,			k × H = −ωD			D  k, H
rot E = − ∂B/∂t			k × E = ωB			B  k, E

Fázová rychlost míří ve směru vlnového vektoru k, grupová rychlost ve směru šíření energie, tj. ve směru Poytingova vektoru E × H. poměry v elektromagnetické vlně v elektricky anisotropním prostředí tedy jsou:

Př. 6.: Vlny ve vodiči

• Zadání: Nalezněte pomocí Fourierovy transformace telegrafní rovnice disperzní relaci elektromagnetické vlny ve vodiči. Který člen způsobuje útlum vln? Nalezněte vztahy pro střední dobu útlumu a střední vzdálenost šíření vlny ve vodiči.
• Předpoklady: Vodič je jednodimenzionální, má směr osy x.

• Řešení: Ve vodiči splňují elektromagnetické vlny telegrafní rovnici:

(Δ − c⁻²∂²/∂t² − γμ∂/∂t) E  = 0.

Stejnou rovnici splňuje i magnetické pole. Obecná vlna je složena z rovinných vln tvaru exp[i (kx − ωt)]. Nezapomeňte na použitou znaménkovou konvenci!! Po dosazení rovinné vlny (FT) máme disperzní relaci: ω² =  c²k² − i c²γμω. Je-li vodivost nulová (γ = 0), přejde tato disperzní relace ve známou disperzní relaci vln v nevodivém prostředí. Ve vodiči je disperzní relace komplexní, což obecně znamená útlum.
• Prostorový útlum: Hledejme nejprve prostorový útlum (řešení v k):
c²k² =  ω²  + i c²γμω ~  i c²γμω. Vzhledem k vysoké vodivosti kovů jsme první člen na pravé straně zanedbali. Tento výraz již snadno odmocníme. Nezapomeňte, že i^1/2 = (1 + i)/2^1/2. Proto k = k₁ + i k₂;   k₁ = (γμω/2)^1/2;   k₂ = (γμω/2)^1/2. Reálná i imaginární část vlnového vektoru je stejně veliké (to je pro kovy typické). V prostoru tedy bude mít vlna charakter exp[i k₁x − k₂x]. Vlna je tlumená s charakteristickou vzdáleností tlumení δ_s = 1/k₂ = (γμω/2)^−1/2. Tuto vzdálenost (do které vlna pronikne) nazýváme skinová hloubka.
• Útlum v čase: Hledejme nyní útlum v čase (řešení v ω). Disperzní relace je kvadratická rovnice pro ω s řešením

ω_1,2 = [−i c²γμ ±(−c⁴γ²μ² + 4c²k²)^1/2]/2.

Uvědomíme-li si, že v diskriminantu je vodivostní člen dominantní (kov), zbývá jediné nenulové řešení ω ≈ − i c²γμ. Řešení ve frekvenci je ryze imaginární ω = ω₁ + i ω₂   ω₁ = 0;    ω₂ = − c²γμ. a má charakter útlumu exp[− i ωt] = exp[ω₂t] = exp[− c²γμt] s charakteristickou dobou útlumu τ = |1/ω₂| = 1/c²γμ. Povšimněte si, že při důsledném dodržení znaménkové konvence (u prostoru +, u času −) ve vlnění typu exp[i (kx − ωt)] vyšel útlum v čase i v prostoru.

Př. 7.: Vlny ve vlnovodu

• Zadání: Nalezněte pomocí Fourierovy transformace vlnové rovnice řešení pro jednu ze složek elektrického pole v obdélníkovém vlnovodu. Z disperzní relace určete podmínky šíření vlny.

• Řešení: Budeme hledat jen nejjednodušší ze složek: elektrické pole E_y. Toto pole míří ve směru osy y a obecně budeme předpokládat řešení ve tvaru:

E_y(t, x, z) = E₀ exp[i (k_xx + k_zz − ωt)]. 

V ose x se mění velikost pole díky přítomnosti stěn (tečná složka elektrického pole je na vodivé stěně nulová), v ose z se vlna šíří a ke změně pole dojde například útlumem. Řešení je vzhledem k geometrii vlnovodu nezávislé na y (na normálovou složku nemáme na vodivé hranici žádné požadavky). Charakter řešení v proměnné x můžeme určit z podmínek pro tečnou složku pole na vodiči: 

E_y(t, 0, z) = E_y(t, a, z) = 0   pro každé   t, z. 

Ihned tak máme: 

E_y(t, x, z) = E₀ sin(k_xx) exp[i (k_zz − ωt)],   
kde k_x = mπ/a ,    m = 0, 1, 2, ... 

Řešení musí jako celek splňovat vlnovou rovnici (Δ − c⁻²∂²/∂t²) E_y  = 0. Dosazením tohoto řešení do vlnové rovnice provádíme ve skutečnosti FT, protože každé řešení můžeme z rovinných vln složit. Po dosazení dostaneme: − k_x² − k_z² + ω²/c² = 0. Pro k_x již máme podmínku z nulovosti tečných složek. Po dosazení této podmínky získáme jednoduchou disperzní relaci 

ω² = m²ω₀² + c²k_z²,   ω₀ ≡ cπ/a,   m = 0, 1, 2, ... 

Číslo m charakterizuje jednotlivé mody šířící se vlnovodem. Veličina ω₀ se nazývá mezní frekvence vlnovodu. Tato disperzní relace je po formální stránce identická s disperzní relací šíření řádné elektromagnetické vlny plazmatem z příkladu "Disperze". Nalezení fázové a grupové rychlosti šíření vlny ve směru vlnovodu je také analogické

v_f = ω/k_z = c (1 + (mω₀/ck_z)²)^1/2, 
v_g = ∂ω/∂k_z = c / (1 + (mω₀/ck_z)²)^1/2. 

Je zřejmé, že fázová rychlost je opět vyšší než rychlost světla a grupová rychlost nižší než rychlost světla. Opět bychom mohli vlnový vektor k_z vyjádřit za pomoci vlnové délky šíření světla ve směru vlnovodu (k_z = 2π/λ). Tím je zřejmá závislost rychlosti šíření vlny na vlnové délce světla (disperze).  Současně vidíme, že pro ω > ω₀ se vlnění bez problému šíří vlnovodem (alespoň základní mod m = 1) − disperzní relace je reálná. Při nižších frekvencích je vlnový vektor k_z komplexní a dochází k útlumu.

Př. 8.: Sluneční světlo

• Zadání: Sluneční záření má v okolí Země intenzitu I = 1.4 kW/m² (tj. na každou plochu o rozměrech 1 m² postavenou kolmo ke slunečnímu záření dopadá za každou sekundu energie 1400 J). Nalezněte průměrnou hodnotu intenzity elektrického a indukce magnetického pole v slunečním záření v místě, kde se nachází Země.
• Řešení: Intenzita dopadající energie je dána velikostí Poyntingova vektoru: I = EH. Poměr elektrické intenzity a magnetické indukce v elektromagnetické vlně je E/B = c. (Odvození tohoto vztahu naleznete v příkladě "Vlny ve vakuu"). Oba vztahy můžeme chápat jako soustavu dvou rovnic pro elektrické a magnetické pole:

μ₀I = EB;    E/B = c.

Vynásobením a vydělením obou rovnic dostaneme řešení:

E = (cμ₀I )^1/2;    B = (μ₀I /c )^1/2.

• Výsledek: E = 726 V/m, B = 2.4×10⁻⁶ T.

Př. 9.: Potenciály

• Zadání: Nalezněte skalární potenciál bodového náboje a vektorový potenciál v homogenním magnetickém poli. Dokázali byste totéž sami ve složitější situaci (například elektrický dipól a magnetické pole kolem vodiče protékaného proudem)?

Řešení: Doufám, že na elektrofakultě každý z Vás viděl odvození hodnoty skalárního potenciálu bodového náboje tolikrát, že by další odvozování bylo jen nošením dříví do lesa. Výsledkem je Coulombův potenciál Φ = Q/(4πε₀r). Nalezněme proto vektorový potenciál pro homogenní magnetické pole B = (0, 0, B). Pro vektorový potenciál musí platit B = rot A, tj:

V ose z míří magnetické pole, osa z je osou symetrie a proto nemůže vektorový potenciál záviset na souřadnici z (∂/∂z = 0):

Z prvních dvou rovnic plyne, že komponenta A_z je libovolná konstanta, stačí tedy volit A_z = 0. Z poslední rovnice nejsou potenciály A_x a A_y určeny jednoznačně. Řešením je například A_y = Bx, A_x = 0, nebo A_y = 0, A_x = − By, nebo kombinace obou řešení. Nejčastěji se pro vyjádření potenciálu v homogenním magnetickém poli používá některý z následujících výrazů:

Použijete-li libovolný výraz a provedete rotaci, vždy dostanete pole B = (0, 0, B). Vektorový potenciál není jednoznačně určen.